Kann alles bewiesen werden?

Antworten aus der Mathematik

Im Physikstudium hört man auch einige Mathematikvorlesungen. Der Grund dafür ist, dass die Mathematik die Sprache der Naturwissenschaften ist, wie Galileo einst sagte, und es um die Physik zu verstehen nötig ist auch die mathematischen Konzepte dahinter zu verstehen. Daher sind Aussagen über die Physik ohne mathematisches Fundament, wie sie oft in der populärwissenschaftlichen Literatur angetroffen werden, stets mit Vorbehalt zu genießen, da es einfach fällt, diese wenn auch korrekt formuliert, sie falsch zu verstehen. Beginnt man also damit diese Mathematikvorlesungen zu hören merkt man schnell, dass dort sehr viel weniger gerechnet wird als es noch in der Schule der Fall war. In der Tat sind Rechnungen dort meist nebensächlich und dienen höchstens als Beispiele zur Veranschaulichung. Stattdessen liegt der Fokus darauf aus Axiomen und erklärten Definitionen diverse Sätze zu beweisen. Dies erfordert sehr viel mehr logisches Denken als rechnerisches Können. In der Tat ist die Mathematik ein logisches Konstrukt und dadurch sehr eng mit der Logik verbunden. Viele Aussagen der Mathematik gehören daher auch zum Gebiet der Logik, so auch die welche wir uns in diesem Blogpost anschauen möchten.

Cantors Paradies

Georg Cantor war ein deutscher Mathematiker, der im 19. Jahrhundert und zu Anfang des 20. Jahrhunderts lebte und wirkte. Er ist vor allem bekannt dafür, dass er die Mengenlehre begründete und damit eine Revolution in der Mathematik auslöste. Eine Menge ist im Prinzip eine Ansammlung unterschiedlicher Objekte, wie z.B. die Menge der Flüsse in Deutschland oder die Menge der Apfelsorten. Die Menge ohne Elemente ist die leere Menge. Mengen können endlich sein, d.h. sie besitzen eine endliche Anzahl an Elementen oder sie können unendlich sein, d.h. sie besitzen unendlich viele Elemente. Letzteres war bei den Mengen die Cantor betrachtete, nämlich den Zahlen, vornehmlich der Fall. Dadurch prägte Cantor auch den Begriff der Unendlichkeit neu über den es damals unterschiedliche Auffassungen gab. Cantor war der Überzeugung, dass es Unendlichkeit tatsächlich gibt und sah die klarste Repräsentation dieser in Gott selbst.

Außerdem konnte Cantor zeigen, dass es unterschiedliche Arten von Unendlichkeiten gibt: Abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Nimmt man z.B. die Menge der natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...), sieht man sofort, dass diese abzählbar ist: Man kann immer das nächste darauffolgende Element finden. Bei den reellen Zahlen (die beinhalten zudem Brüche und jegliche Dezimalzahlen u.a. auch Pi, und die Wurzel von 2) ist dies jedoch anders. Diese können nicht abgezählt werden. Das zeigt sich allein daran, dass man bei einer reellen Zahl unmöglich "die nächste" reelle Zahl finden kann bzw. zwischen jeder reellen Zahl eine weitere Zahl finden kann. Cantor konnte mit seinem Diagonalisierungsbeweis zudem zeigen, dass es zwischen 0 und 1 mehr reelle Zahlen gibt als es natürliche Zahlen gibt. Damit konnte er den unterschiedlichen Zahlenmengen eine sogenannte Mächtigkeit zuordnen, und zeigen, dass die reellen Zahlen mächtiger als die natürlichen Zahlen sind.

Jedoch war Cantors Mengenlehre damals sehr umstritten und führte zu einem Grundlagenkonflikt in der Mathematik. Auf der einen Seite waren die Gegner Cantors Ideen, die sogenannten Intuitisten und auf der anderen Seite Befürworter seiner Ideen, die sogenannten Formalisten. Unter letzteren war vor allem David Hilbert, einer der größten Mathematiker seiner Zeit, der sagte: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können."

David Hilbert war der Überzeugung, dass aus gegebenen Axiomen alles hergeleitet und bewiesen werden könne. Hilbert sagte selbst dazu: "Wir müssen wissen, wir werden wissen!" Das bedeutet insbesondere, dass folgende Eigenschaften in mathematischen Systemen stets erfüllt sind:

1. Vollständigkeit: Das System ist vollständig, d.h. jede wahre Aussage kann bewiesen werden.

2. Widerspruchsfreiheit: Die getroffenen Aussagen sind konsistent, d.h. sie widersprechen einander nicht.

3. Entscheidbarkeit: Es kann stets determiniert werden ob eine bestimmte Aussage vorliegt oder nicht.

Es galt also dies nachzuweisen. Als die Kritiker Cantors Mengenlehre auf Widersprüche in dieser deuteten wähnten sich diese zunächst im Sieg. Dadurch, dass es keine Beschränkung dafür gab welche Elemente Teil einer Menge sein können, können Mengen selbst auch Teil einer Menge sein. Somit kann man eine Menge von Mengen die sich nicht selbst enthalten definieren. Eine solche Menge müsste aber auch sich selbst enthalten, weil sie per Definition sich nicht selbst enthält. Dadurch würde sie sich aber enthalten. Dies führt zu einem klaren Widerspruch. Diese Art der Selbstreferenz gleicht den folgenden beiden Aussagen die zusammengenommen auch zu Widerspruch führen: "Der nächste Satz ist korrekt. Der vorherige Satz ist falsch."
Dieses Problem wurde umgangen indem man den Mengenbegriff so einschränkte, das solche Konstrukte nicht mehr die Definition einer Menge erfüllten.

Gödels Unvollständigkeitssatz und Turingmaschinen

Damit schienen die Formalisten doch Recht zu behalten und Hilberts Überzeugungen konnten weiter überleben. Doch vor ziemlich genau 90 Jahren ließ der österreichische Mathematiker Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz diesen Traum platzen. Mit diesem bewies Gödel, dass es in hinreichend starken mathematischen Systemen immer Aussagen geben wird, die wahr sind aber nicht bewiese werden können. Damit war Punkt 1 der Anforderungen Hilberts widerlegt. Und das war noch nicht alles: In seinem zweiten Unvollständigkeitssatz zeigt Gödel darüber hinaus, dass wenn das vorliegende System widerspruchsfrei ist, dies nicht bewiesen werden kann. Damit war Punkt 2 zwar nicht widerlegt aber es wurde gezeigt, dass es unmöglich ist zu beweisen ob Punkt 2 in einem System erfüllt ist.

Damit blieb also nur noch die Voraussetzung von Punkt 3: Die Entscheidbarkeit. Diese Frage ließ sich mit dem Aufkommen der Informatik beantworten. Der britische Mathematiker Alan Turing gilt als Begründer der Informatik. Er entwickelte das Konzept der Turingmaschine auf dem die heutigen Computer basieren. Eine solche Turingmaschine bekommt als Input ein Band mit Informationen (i.d.R. 1 und 0). Es kann diese überschreiben, von einem Antrag zum nächsten oder vorherigen springen und stoppen. Je nach implementierten Algorithmus wird die Turingmaschine also die Einträge einlesen und entsprechend anpassen indem es nach rechts oder links fährt und nach Beendigung schließlich stoppt. Jedoch ist keineswegs gegeben, dass der Algorithmus terminiert und die Turingmaschine zum Stehen kommt. Es kann durchaus sein, dass die Maschine sich in einer Schleife verliert und ewig weiterläuft. Alan Turing begriff schnell, dass zu entscheiden ob eine Turingmaschine zum Halten kommt oder nicht äquivalent zur Frage der Entscheidbarkeit von mathematischen Systemen ist. Also erdachte sich Turing eine Turingmaschine, die herausfinden kann ob ein Algorithmus in der Turingmaschine zu einem Halt führt oder in eine Endlosschleife geht. Dies würde dann in den Output der Maschine geschrieben. Nun erweiterte er diese Maschine und ließ diesen Output in eine weitere Turingmaschine gehen, die falls die erste Maschine sagt, dass der Algorithmus zum stehen kommt eine Endlosschleife beginnt und falls sie sagt, dass er nicht zum Stehen kommt, zum Stehen kommt.

Wenn man nun den Algorithmus dieser Maschine in die Maschine selbst eingibt, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder wird die erste Maschine sagen, der Algorithmus kommt zum Stopp. Dann wird die zweite Maschine eine Endlosschleife eingehen, ganz im Kontrast zur Aussage der Turingmaschine. Oder die erste Maschine sagt, der Algorithmus verliert sich in einer Endlosschleife. In diesem Fall wird die zweite Maschine halten, also zum Stopp kommen und somit auch den Aussagen der Turingmaschine widersprechen. Der einzige Weg diesen Widerspruch aufzulösen ist zu erkennen, dass eine solche Maschine nicht existieren kann. Man kann also nicht bei jedem Algorithmus festlegen ob dieser terminiert. Und äquivalent dazu kann man in mathematischen Systemen nicht determinieren ob eine Aussage vorliegt oder nicht. Der Punkt der Entscheidbarkeit ist damit auch widerlegt.

Dies war der letzte Dämpfer für die Ideen der Formalisten. Dennoch waren diese Bestreben keineswegs unerfolgreich. Schließlich legten die Erkenntnisse Turings die Grundlagen für die heutigen Computer. Und nicht nur das: Turing war Teil des Teams von Codeknackern in Bletchley Park während des Zweiten Weltkrieges. Mithilfe der ersten Rechenmaschinen gelang es ihnen dort die ausgeklügelten Verschlüsselungsmethoden der Nazis zu entziffern und den Krieg dadurch vermutlich um mehrere Jahre zu verkürzen.

Und auch in der Mathematik selbst konnte man dadurch viele Fortschritte verzeichnen. U.a. gelang es mit einem im Gebiet der Zahlentheorie eigentlich unbeweisbarem Sachverhalt die Widerspruchsfreiheit dieser zu beweisen. Die Formalisten hatten zwar nicht erreicht was sie erreichen wollten dennoch wurde durch diese Erkenntnisse die Mathematik und Logik um einiges bereichert, auch wenn ihr zusätzlich die Grenzen aufgezeigt wurden.

Die in den letzten Abschnitten beschriebenen Sachverhalte werden auch sehr anschaulich in einem Video von Veritasium, einem wissenschaftlichen YouTube Kanal, dargestellt. Dieses ist allerdings in Englisch: YouTube

Aussagen des Glaubens sind wahr aber nicht immer beweisbar

Ich glaube man kann diese Erkenntnisse auch gut auf den Glauben hin deuten. Auch im Glauben wird sehr oft nach Beweisen gefragt. Und während entgegen dem was oft angenommen wird sich das ein oder andere auch beweisen oder zumindest nachweisen lässt ist es auch hier so, dass es Aussagen gibt die nicht bewiesen werden können. Dies wertet den Glauben jedoch nicht ab, schließlich verhält es sich damit ja genau wie in der Mathematik und Logik auch: Es gibt Aussagen die wahr sind aber nicht bewiesen werden können.

Fehlende Beweise können daher nicht als Rechtfertigung für fehlenden Glauben gewertet werden. Und wenn man dies einmal akzeptiert lernt man, dass es wie in der Mathematik auch zu einer Bereicherung führen kann. Denn wenn man wahre Aussagen, die nicht beweisbar akzeptiert kann man diese verwenden um andere Dinge nachzuweisen und somit seinen Horizont zu erweitern, wie das in der Mathematik ja auch der Fall ist. Ich selbst habe in meinem Leben immer wieder erlebt wie allein schon mein intellektuelles Leben dadurch bereichert werden konnte. Aussagen aus der Bibel als wahr anzunehmen erlaubt es Schlüsse zu ziehen, die uns im Leben weiterhelfen. Und nicht nur das: Allein schon im wissenschaftlichen Bereich können Fortschritte dadurch erlangt werden. So sah Cantor selbst seine Erkenntnisse der Mengentheorie stets als Eingebung Gottes und vielen weiteren vor allem auch der ersten Wissenschaftler ging es ähnlich.

Das bedeutet natürlich nicht, dass man einfach jede Aussage einfach so glauben soll/muss. Das ist in der Mathematik ja auch nicht so. Stattdessen gelangt man in der Mathematik durch die Betrachtung gewisser Muster zu einer Intuition, die einen dann dazu bringt nicht beweisbare Aussagen als wahr zu erkennen. Deren tatsächlicher Wahrheitsgehalt wird dann durch deren Ergiebigkeit in den daraus hergeleiteten Aussagen bestätigt. Genauso werden die Aussagen des Glaubens zwar nicht durch Intuition aber so ähnlich, durch das Resonieren im Geist als wahr erkannt. Jesus hat seinen Nachfolgern verheißen, dass er ihnen seinen Geist senden wird. Durch diesen können wir mit Gott kommunizieren und von Ihm geführt werden. Mit einem Resonieren im Geist ist dann also die Bestätigung des Geistes der betrachteten Aussage gemeint. Und auch hier ist es so, dass der Wahrheitsgehalt der Aussage sich letztlich an der Ergiebigkeit, d.h. an deren Früchten zeigt. So sagt auch Jesus in Matthäus 7,20: "Deshalb, an ihren Früchten werdet ihr sie erkennen."
Wenn man also wirklich wissen will ob in den Aussagen des christlichen Glaubens Wahrheit steckt reicht es nicht Beweise zu fordern, da dies sogar schon im Bereich der Wissenschaft unvernünftig wäre. Stattdessen sollte man sich auf die Möglichkeit der Wahrheit dieser Aussagen einlassen und sich danach ausstrecken diesem Gott zu begegnen: Falls die Aussage wahr ist wird man ihm früher oder später begegnen und Zeugnis von ihm bekommen. Diese Bestätigung erlaubt es dann weitere Schlüsse zu ziehen, die dann zum Teil auch beweisbar sind. Ich möchte also jeden der ernsthaft auf der Suche ist ermutigen nach diesen Antworten zu suchen und sich nicht von einem etwaigen Mangel an Beweisen irritieren oder gar stoppen zu lassen.

Hier kannst Du Dir auch die Podcastfolge zu diesem Beitrag anhören.