Warum ist die Mathematik in der Wissenschaft so effektiv?

Jul 9, 2023

"Die Mathematik ist die Sprache der Naturwissenschaften."

So ähnlich formulierte es einst Galileo Galilei einer der Mitbegründer der modernen Wissenschaft. Und je mehr man sich mit der Wissenschaft beschäftigt umso mehr begreift man, dass diese Aussage tatsächlich zutreffend ist. Ich selbst war zu Beginn meines Studiums überrascht wie viel man mit Hilfe der Mathematik über die Naturwissenschaften herleiten konnte. Es bedurfte nur einiger weniger Axiome, in diesem Fall den Newtonschen, und einem Gravitationsgesetz und schon konnte man haufenweise weitere Sachverhalten, letztlich sogar die gesamte Newtonsche Mechanik samt Energieerhaltungssatz daraus herleiten.

Später sieht man in experimentellen Versuchen, dass dies nicht nur schöne mathematische Konstrukte sind, sondern, dass diese sich genau so in der Natur wiederfinden. Dieser faszinierende Effekt der Mathematik, ganz offensichtlich perfekt für die Beschreibung der Naturwissenschaft geeignet zu sein findet sich immer wieder. Ich möchte hier nur ein paar Beispiele nennen:

Aus den Beobachtungen Tycho Brahe, eines dänischen Astronomen, gelang es Johannes Kepler genaue mathematische Formeln herzuleiten, die dann von Isaac Newton zu einem präzisen mathematischen Gravitationsgesetz geformt werden konnte. Newton selbst führte diese Ordnung in seinem General Scholium auf die Existenz eines Gottes zurück.
James Clerk Maxwell verallgemeinerte die Erkenntnisse der Elektrizität und des Magnetismus zu den nach ihm benannten Maxwell-Gleichungen. Aus diesen lässt sich mathematisch eine Lösung für Ladungs- und stromfreie Felder finden, die sich als Wellen ausbreiten. Diese elektromagnetischen Wellen waren bis dahin unbekannt und konnten durch Experimente von Heinrich Hertz bestätigt werden. Später merkte man, dass Licht selbst aus solchen elektromagnetischen Wellen in einem bestimmten Frequenzbereich besteht.
Während die Physik von Anbeginn mathematisch formuliert war, war dies in anderen Naturwissenschaften zunächst nur bedingt so. Es gelang jedoch die Aussagen der Chemie immer mehr durch Erkenntnisse der Physik zu beschreiben. Insbesondere durch das Aufkommen der Quantenmechanik wurde dies möglich. Doch auch im Bereich der Biologie hat die Mathematik sich als hilfreich gezeigt. Dies zeigt sich auch an den DNA-Sequenzen die einer mathematischen Struktur folgen.

Eugene Wigner war eine bedeutender Mathematiker aus dem letzten Jahrhundert. Auch er sah sich mit dieser, wie er sie nannte, unvernünftigen Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften konfrontiert und veröffentlichte einen Aufsatz dazu

. Dort beschreibt er dies unter anderen an einer Anekdote, in der alte Schulkameraden sich nach Jahren wieder treffen. Während einer von ihnen Statistiker geworden ist hat der andere eine nicht-akademische Laufbahn gewählt. Stolz zeigt der Statistiker ihm die Formel für die Gauß-Verteilung. Der Arbeiter fragt was den der griechische Buchstabe Pi zu bedeuten hat. Dies sei die Kreiszahl, das Verhältnis des Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Der Arbeiter reagiert darauf verwirrt, da er nicht verstehen kann was diese Gaußverteilung mit der Kreiszahl zu tun haben soll. Und in der Tat ist dies nicht offensichtlich. Erst wenn man ein Gaußintegral ausrechnet um die Normierung dieser Verteilung zu berechnen wird dies ersichtlich. Dennoch ist es faszinierend, wie oft diese Größe Pi in der Mathematik an den scheinbar unwahrscheinlichsten Orten auftaucht.

Und die Frage, die sich dabei natürlich stellt ist: Warum?
Wie lässt sich diese unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften erklären?
Zunächst mag man meinen, dass es ja so ist, dass der Mensch durch die Wissenschaft die Welt beschreiben will und auf dem Weg dorthin die Mathematik entwickelt. Somit ist es eine einfache Konsequenz des menschlichen Forschergeists und nicht weiter bemerkenswert. Das dachte ich auch lange, doch greift dies zu kurz. Denn dies würde nicht erklären warum die Mathematik so präzise darin ist die Natur zu beschreiben. Oft ist es nämlich so, dass auch nachdem die Experimente verfeinert wurden und präziser als zur Aufstellung der Theorien sind, die Ergebnisse die mathematischen Vorhersagen nur noch weiter bestätigen. Wäre Mathematik ein simples entwickeltes Tool um die vorhandenen Ergebnisse zu beschreiben sollte dieser Effekt jedoch nicht so häufig auftreten wie er es tut. Bei Newtons Gravitationsgesetz war es beispielsweise so, dass es vielen weitaus präziseren Messungen als denen von Tycho Brahe standgehalten hat und erst die Periheldrehung des Merkur zu Abweichungen geführt hat. Dies war fast 400 Jahre nachdem Newton diese Theorie aufgestellt hatte und ließ sich durch die Allgemeine Relativitätstheorie erklären.

Die Frage bleibt also: Woran liegt das?
Damit hat sich nach Eugene Wigner auch ein weitere Mathematiker und Mitbegründer der Informatik beschäftigt: R.W. Hamming. In seinem Aufsatz dazu

findet er vier Teilerklärungen dafür:

Wir sehen wonach wir suchen: Viele wissenschaftliche Aussagen sind bereits eine Konsequenz der verwendeten Mathematik. Galileo kam auf sein Trägheitsgesetz in dem er die Möglichkeit, dass sich unterschiedlich schwere Körper ohne eine auf sie einwirkende Kraft unterschiedlich schnell bewegen ad absurdum führte. Genauso ist es in der Quantenmechanik so, dass man Fourierintegrale verwendet aus denen die Unschärferelation als eine mathematische Konsequenz folgt.
Es kann also alles auseinander deduziert werden. Diese Ansicht hatte bereits Arthur Eddington. Allerdings ist dies nur begrenzt der Fall. Zumindest kann man davon ausgehen, dass dort eine Grenze ist, wie Eddington selbst an einem Beispiel zeigt: In einem See fischen die Fischer alle mit Netzen die Löcher von einem Quadratzentimeter Größe haben. Aus ihrem Fang schlussfolgern sie, dass es keine Fische gibt die kleiner als ein Quadratzentimeter sind. Da ihre Netze jedoch Löcher in dieser Größe sind kann man nicht feststellen, ob dies wirklich der Fall ist oder ob es daran liegt, dass kleinere Fische den Fischern buchstäblich durchs Netz gehen. Es kann also durchaus eine Grenze der Deduzierbarkeit geben.
Wir wählen unsere Mathematik aus: Zunächst beschrieb man die Natur mit einfachen Werten, sogenannten Skalaren. Bei Kräften und Geschwindigkeiten, sowie vielen weiteren Größen wurde deutlich, dass hier nicht nur ein Wert zur Beschreibung reicht, da diese Größen stets auch eine Richtung haben. Daher wurden Vektoren eingeführt. Noch später kam es dazu, dass dies zur Beschreibung der Natur nicht mehr ausreichte und um z.B. Rotationen zu beschreiben wurden sogenannte Tensoren eingeführt. Man hat sich also aufbauend auf den wissenschaftlichen Erkenntnissen eine spezifische Mathematik gewählt, die deshalb auch so gut funktioniert. Dennoch kann sie, wie zuvor beschrieben, nicht erklären warum diese gerade so präzise funktioniert.
Die Wissenschaft beantwortet nicht alle Fragen: Dies bedeutet so viel wie dass die Wissenschaft in dem was sie in der Lage ist zu beschreiben beschränkt ist. Ich glaube definitiv, dass dem so ist. Damit würde sich das Ausmaß dieses Effektes zwar verringern, er ist aber dennoch immer noch da.
Evolution: Mit der Zeit hat sich die Wissenschaft immer weiter entwickelt. Dies kann womöglich auch durch evolutionäre Effekte zu erklären sein. Die enorm kurzen Zeitskalen auf denen wissenschaftlicher Fortschritt erzielt wurde lassen sich allerdings, wie Hamming selbst anmerkt, nur bedingt durch solche Effekte erklären.

Hamming selbst nennt alle diese Punkte nur Teilerklärungen, die es nicht vermögen eine vollständige Erklärung zu liefern. Somit ist sein Fazit, dass er auch keine komplette Antwort darauf hat, dass es aber wichtig ist der Frage nachzugehen.

Wie lässt sich dies also erklären? Liefert der christliche Glaube darauf vielleicht Antworten?
Das tut er in der Tat:

Und Gott schuf den Menschen als sein Bild, als Bild Gottes schuf er ihn; als Mann und Frau schuf er sie.
- 1. Mose 1, 27

Laut Galileo ist die Mathematik die Sprache der Wissenschaft. Als Schöpfer der Welt, die von der Wissenschaft beschrieben wird muss Gott also diese Sprache beherrschen. Wie es in 1. Mose 1, 27 heißt hat uns Gott in seinem Ebenbild geschaffen. Damit ist es vernünftig anzunehmen, dass der Mensch als im Ebenbild Gottes geschaffenes Wesen auch dieser Sprache der Wissenschaft mächtig ist.

Dies würde erklären warum der Mensch in der Lage ist die Welt mit der Mathematik so gut zu beschreiben: Weil sie die Sprache der Natur ist, die ihm von Gott in seinen Verstand gegeben wurde. Doch warum? Zu welchem Zweck?

Auch hierauf gibt uns die Bibel Antworten und zwar direkt einen Vers weiter:

Und Gott segnete sie, und Gott sprach zu ihnen: Seid fruchtbar und vermehrt euch, und füllt die Erde, und macht sie ⟨euch⟩ untertan; und herrscht über die Fische des Meeres und über die Vögel des Himmels und über alle Tiere, die sich auf der Erde regen!
- 1. Mose 1, 28

Gott beauftragt den Menschen sich die Erde (Natur) untertan zu machen. Und wenn man sich anschaut was mit der Wissenschaft tatsächlich erreicht wird, ist es genau das. Denn auf der einen Seite erlaubt die Naturwissenschaft bzw. ein Verständnis dieser, sich die Naturkräfte zunutze zu machen. Beispielsweise erlaubt ein Verständnis des Elektromagnetismus es, Geräte zu bauen, die so etwas wie das Internet ermöglichen um dadurch einen Informationsaustausch zu schaffen, der es erlaubt, dass Du diesen Text hier überall auf der Welt lesen kannst. Ein weiteres Beispiel sind Autos, bei denen die Kenntnis der Gesetze der Thermodynamik genutzt werden um Maschinen zu bauen, mit denen wir uns fortbewegen können. Auf der anderen Seite erlaubt ein Verständnis der Wissenschaft es auch eben diese Naturkräfte zu überwinden. Beispielsweise gelang es durch die Mondlandung die Gravitationskraft der Erde zu überwinden und einen Menschen auf einen anderen Himmelskörper zu senden.

Durch ein Verständnis der Naturwissenschaften, dass der Mensch mit Hilfe der Mathematik bekommt gelingt es ihm also sich die Erde untertan zu machen, wie Gott es ihm in der Bibel aufgetragen hat. Diese Faszination über diese hohe Stellung des Menschen findet sich auch in den Psalmen:

Was ist der Mensch, dass du seiner gedenkst, und des Menschen Sohn, dass du dich um ihn kümmerst? Denn du hast ihn wenig geringer gemacht als Engel, mit Herrlichkeit und Pracht krönst du ihn. Du machst ihn zum Herrscher über die Werke deiner Hände; alles hast du unter seine Füße gestellt.
- Psalm 8, 5-7

Gott hat uns also tatsächlich berufen über diese Erde zu herrschen und ein Mittel mit dem wir dies tun können ist die Mathematik, die es uns erlaubt die Natur zu beschreiben und uns damit untertan zu machen. Daher deutet diese unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften nicht nur wie Newton bereits anmerkte auf eine Ordnung hin, die einen Schöpfer impliziert. Sie deutet darüber hinaus auch darauf hin, dass dieser Schöpfer uns tatsächlich in seinem Bild geschaffen hat, da wir in der Lage sind, die Schöpfung bis zu einem gewissen Grad zu verstehen, zu beschreiben und dieses Wissen uns zunutze machen können.

C.S. Lewis sagte einst:

"Der Mensch wurde wissenschaftlich, weil er eine Gesetzmäßigkeit in der Natur erwartete und er erwartete eine solche Gesetzmäßigkeit, weil er an einen Gesetzgeber glaubte."

Ich glaube man kann dies mit diesen Erkenntnissen so erweitern, dass die Gesetzmäßigkeit der Natur zwar auf einen Gesetzgeber also Gott hindeutet, unsere Fähigkeit diese zu erfassen aber auf eine besondere Stellung des Menschen in der Schöpfung hindeutet, wie die Bibel dies auch verdeutlicht.

Hier kannst Du Dir auch die Podcastfolge zu diesem Beitrag anhören.

Eugene Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences., Richard courant lecture in mathematical sciences delivered at New York University, May 11, 1959 10.1002/cpa.3160130102.

R.W. Hamming, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics, The American Mathematical Monthly Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 81-90 (10 pages) Published By: Taylor & Francis, Ltd..